Nivel 1

Nivel 2

Contenidos

• Sentido numérico.

• Capacidad de contar.

• Modos de contar.

  Modos de contar primitivos.

  Modos de contar más avanzados.

• Principios de los sistemas de numeración.

• Sistemas de numeración con valor posicional.

  Concepto de base.

  Cambios de base.

• Máquinas matemáticas.

  Primeras máquinas matemáticas.

  Máquinas matemáticas de los siglos XX y XXI.

• Conjuntos numéricos.

  · Naturales · Enteros · Racionales · Reales · Complejos

• Ecuaciones.

  Concepto de ecuación y significado de resolución.

  Tipos de ecuaciones: lineales, polinómicas, con radicales, exponenciales, ...

  Resolución de ecuaciones lineales en cualquier número de incógnitas.

  Resolución de ecuaciones polinómicas: cuando tienen una sola incógnita, existencia de fórmula general por radicales para las de grado menor o igual a 4, aproximación de raíces, etc; breve estudio de las cónicas y una pequeña introducción a las cuádricas como conjuntos solución de ecuaciones de grado 2 con dos y tres incógnitas respectivamente.

  Resolución de ecuaciones que involcran la función valor absoluto, radicales, ...

• Inecuaciones.

  Concepto de inecuación, significado de resolución y clasificación en lineales y no lineales.

  Sistemas de inecuaciones y resolución.

Objetivos

1. Reconocer que el sentido numérico más primitivo no sólo está presente en el hombre.

2. Ver en determinadas manifestaciones artísticas cómo se refleja la capacidad de contar de las diferentes civilizaciones.

3. Distinguir los modos de contar de culturas diversas, reconociendo en algunos de ellos los difereentes principios por los que se rigen los sistemas de numeración empleados.

4. Apreciar la importancia del principio de valor posicional de los sitemas numéricos actuales.

5. Saber formas de pasar de un sistema de numeración de valor posicional a otro, reconociendo en los procedimientos dónde subyace la idea del principio de valor posicional.

6. Conocer las principales fases por las que ha pasado el desarrollo de las máquinas matemáticas.

1. Reconocer los problemas que resuelven los distintos conjuntos numéricos y, en algunoas casos, su relación con la estructura algebraica de cada uno.

2. Expresar en lenguaje algebraico situaciones expresadas en lenguaje cotidiano y recíprocamente.

3. Resolver distintos tipos de ecuaciones (lineales, polinómicas sencillas, otras donde intervenga el valor absoluto o un radical, ...)

4. Resolver distintos tipos de inecuaciones (lineales y cuadráticas, otras donde intervenga el valor absoluto, ...)

5. Resolver sistemas donde intervengan ecuaciones e inecuaciones sencillas y representar gráficamente su solución.

Orientaciones

El nivel 1 del módulo de Números, Ecuaciones e Inecuaciones recoge, básicamente y desde un punto de vista histórico, aquellos aspectos relacionados con la actividad de contar del hombre: sus inicios, los diferentes sistemas de numeración, la importancia de los sistemas de numeración con el principio del valor posicional, la aparición de las máquinas de cálculo y la revolución que ello supuso. Por eso, se entiende que una gran parte del módulo a este nivel tiene, a priori, carácter informativo, pero también un carácter formativo importante desde un punto de vista cultural. En aquellos aspectos con mayor incidencia para la buena comprensión de otros temas o de uso en otras áreas, tales como el significado del principio del valor posicional o los cambios de base, el estudio debe efectuarse con toda profundidad, por esa razón, al final del capítulo hay una breve autoevaluación que mide el grado de madurez del estudiante en esos temas.

1. Las diferentes situaciones presentadas en la introducción, permiten recordar al lector algunos aspectos de los conjuntos numéricos con los que ha ido trabajando a lo largo de su formación matemática previa y sirven de elemento motivador de lo que viene a continuación.

2. La construcción rigurosa de los diferentes conjuntos numéricos supone, por un lado, mucho trabajo, en la mayoría de las ocasiones alejado de la intuición, y por otro, el dominio de las relaciones de equivalencia y los conjuntos cociente asociados. Por eso, en general no se da la construcción algebraica de dichos conjuntos, aunque en algún caso se pueda acceder a ella mediante un enlace.

   Cada conjunto numérico se presenta resaltando alguna característica o función propia frente al resto de los mismos. También se señala cómo con cada conjunto se "rellenan" más puntos de una recta, hasta llegar al conjunto de los reales, que la completa.

   • Los naturales tienen dos funciones básicas, determinar el tamaño de un conjunto finito o la posición de un elemento dentro de una colección ordenada. Desde diferentes enlaces se puede ver la caracterización de este conjunto mediante los axiomas de Peano y el principio de inducción como una de sus consecuencias.

   • Los enteros se presentan inicialmente como el resultado de ampliar el conjunto de los números naturales para que todas las ecuaciones del tipo x + a = b tengan solución. A continuación se muestran algunas contextualizaciones e interpretaciones que pueden darse de los números enteros y sus operaciones. Al desarrollo histórico de este concepto y a su construcción formal, puede accederse mediante sendos enlaces.

   • Se indica que el conjunto de los números racionales se construye como necesidad de ampliar el el conjunto de los enteros y, casi simultáneamente, se dice que los racionales positivos se manejaron antes que los enteros. Se trata de mostrar así los posibles caminos de paso de N a Q, que pueden ilustarse en el siguiente diagrama, donde el camino inferior responde mejor al proceso histórico.

     $\begin{array}{ccccccc}& & (\mathbb{N},+)& \to & (\mathbb{Z},+)& & \\ & \nearrow & & & & \searrow & \\ (\mathbb{N},+,\cdot )& & & & & & (\mathbb{Q},+,\cdot )\\ & \searrow & & & & \nearrow & \\ & & ({\mathbb{N}}^{*},\cdot )& \to & ({\mathbb{Q}}^{*+},\cdot )& & \end{array}$

     Además se muestran diferentes maneras de interpretación para las fracciones equivalentes (parte-todo, reparto, parte-parte, operador, ...) y se caracterizan a través de sus expresiones decimales.

   • Ejemplos de longitudes de segmentos que no se corresponden con números racionales permiten mostrar la existencia de objetos que se corresponden con expresiones decimales no periódicas, los números irracionales. En este apartado sobre números reales se habla, de forma bastante intuitiva, de los "tamaños" de los conjuntos numéricos, aspecto este que puede ser explotado más si el alumno es receptivo. El valor absoluto también tiene aquí hueco.

   • El cuerpo de los complejos es estudiado de manera breve y elemental,destacando el hecho de que sea algebraicamente cerrado. Las propiedades relativas a conjugados permitirán probar, cuando se trate la resolución de ecuaciones polinómicas reales, que las raíces complejas y no reales aparecen de dos en dos.

   Para todos los conjuntos numéricos se muestran sus estructuras algebraicas y se definen las relaciones de orden en los casos posibles. No se prueba la imposibilidad de ordenar el conjunto de los números complejos pues este aspecto es abordado en los módulos correspondientes al estudio completo de dicho conjunto numérico.

3. Algunos ejemplos de la introducción son rescatados para motivar el concepto de ecuación y del significado de resolución. Después, se muestran ecuaciones formuladas entre diferentes tipos de objetos (números, matrices, funciones) y a continuación se hace un aviso sobre cómo varía el conjunto solución de una misma ecuación si es considerada con exactamente las incógnitas con las que se describe o con un número mayor de ellas. Este hecho se ilustra con el ejemplo de una ecuación lineal en x considerada en contextos de una, dos y tres incógnicas.

   Como es habitual se distinguen las ecuaciones lineales y polinómicas del resto. Se dan las expresiones generales de las ecuaciones lineales de n incógnitas y de las polinómicas de grado n en una incógnita y de grado 2 de dos y tres incógnitas. Estas últimas por la relevancia geométrica que tienen (definen cónicas y cuádricas) y de la que se trata, en parte, cuando se expone la resolución de las mismas.

   La resolución de las ecuaciones indicadas arriba se completa con la resolución de otras ecuaciones en una incógnita: las que vienen dadas en función del valor absoluto por su uso, junto con inecuaciones, en un posible estudio posterior del límite de funciones; las radicales por cuanto en no todos los pasos de su resolución se pasa a ecauciones equivalentes; las logarítmicas y exponenciales por su uso en problemas comunes de la vida cotidiana.

4. Tras indicar lo que se entiende por inecuación, se aborda con especial interés la resolución de las inecuaciones lineales en una, dos y tres incógnitas, que se completa con la resolución de ejemplos concretos de otros tipos de inecuaciones. Se termina el tema con la resolución de sistemas de ecuaciones y/o inecuaciones particulares. Para el estudio completo de los sistemas de ecuaciones lineales se indica el módulo de Lemat concreto que trata estas cuestiones.

Relación entre niveles. Relación con otros módulos

En el apartado anterior, se han descrito las características principales del tema para dar a conocer un posible uso del mismo. Su lectura hacer prever la independencia del este nivel 1 del módulo de su nivel 2, así como del resto de los temas del Proyecto Lemat.

Este módulo se ha confeccionado con la idea de ofrecer, de manera rápida, las características propias de los diferentes conjuntos numéricos y de mostrar cómo algunas de sus propiedades algebraicas están relacionadas con el tipo de problemas que resuelven.

La construcción formal del conjunto de los números enteros se ofrece, como ya se ha dicho, como algo optativo. También se hace un recorrido más o menos exhaustivo sobre las diferentes interpretaciones de un número racional. En el caso de los números reales se habla de forma somera del principio del supremo, pero esta cuestión es abordada, por su aplicación, en el módulo de sucesiones y series. Un estudio pormenorizado del conjunto de los números complejos se efectúa en módulos específicos de este proyecto por lo que en este módulo sólo se realiza una introducción de los mismos.

Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales reales se remite a los módulos correspondientes de este proyecto.

En el estudio de sistemas de inecuaiones lineales se comenta su utilidad en los problemas de programación lineal. Como por el momento este tema no se recoge en este proyecto se indican concretamente dos direcciones, una donde se tratan estas cuestiones desde un punto de vista teórico a nivel sencillo y otra donde se puede acceder a un software para la representación y resolución de problemas de programación lineal con un máximo de cinco inecuaciones.

Las propias caracteristicas del módulo ponen de manifiesto su utilidad en algunos otros.

Escenas interactivas

En la última parte del tema aparecen algunas reglas de cálculo que el lector puede usar, así como un ejecutable que permite realizar operaciones relacionadas con los cambios de base, muy útil no sólo por su uso directo sino también como corrector de los propios cálculos.

La mayor parte de los ejercicios del módulo están diseñados mediante una aplicación Javascript que permite conocer al alumno tanto la puntuación obtenida a través de sus respuestas, como la solución correcta, o en su defecto una pista para poder efectuar un nuevo intento y mejorar su calificación.

Los applets son interpretaciones de otros que aparecen en el proyecto Descartes.

Pre/post evaluación

Al final del tema hay una autoevalución.

Asimismo una vez estudiado el tema, el estudiante puede cumplimentar las autoevaluaciones que aparecen en la última página. Para cada bloque del tema se ha diseñado una. Su calificación, que se obtiene de forma instantánea, le informa sobre su conocimiento del módulo. Estas autoevaluaciones constituirían la post-evaluación.