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Números Complejos. Información para el profesor

Nivel 1

Nivel 3

Contenidos

  • Definición. Forma binómica.

  • Operaciones: suma, producto, susatracción y división.

  • Representación gráfica de los números complejos. Representación vectorial.

  • Conjugado. Opuesto. Módulo. Argumento.

  • Coordenadas polares. Forma trigonométrica de un número complejo. Operaciones.

  • Función exponencial. Forma exponencial.

  • Logaritmo complejo.

  • Potencias: enteras, fraccionarias, complejas.

  • Funciones trigonométricas e hiperbólicas.

Objetivos

  1. Conocer la estructura algebraica del conjunto de los números complejos.

  2. Conocer las diferentes representaciones de números complejos así como el paso de una representación a otra.

  3. Dominar las diferentes representaciones de números complejos y determinar cuál es la más adecuada para resolver operaciones concretas.

  4. Conocer las propiedades de las funciones complejas exponencial, logaritmo, trigonométricas e hiperbólicas.

  5. Identificar las funciones complejas que permiten transformar regiones planas en otras regiones del plano.

Orientaciones

  1. El tema comienza analizando las diferentes ampliaciones de los sistemas de números (desde los números naturales hasta llegar a los números reales). Se ponen de manifiesto los motivos que han obligado a realizar las sucesivas ampliaciones y la necesidad de introducir un nuevo conjunto: el de los número complejos.

  2. Se definen los números complejos como el conjunto de pares ordenados de números reales, identificando a los números reales como el subconjunto formado por aquellos pares cuya segunda componente es cero. Se definen las operaciones de suma y producto, que en el caso de que el número complejo tenga parte imaginaria nula, coinciden con las mismas operaciones que el alumno conoce en R.

  3. Aunque la forma de par ordenado nos sirve para definir el conjunto de los números complejos, se introduce la forma binómica como una representación "más cómoda" para operar con estos números.

  4. Se introduce el opuesto y el conjugado de un número complejo y su interpretación en el plano.

  5. Se estudia la estructura algebraica y geométrica del conjunto de los números complejos relacionando constantemente sus propiedades con las ya conocidas sobre R.

  6. A continuación se define el módulo y se interpreta como distancia. Se utiliza el módulo para describir regiones del plano y se acotan regiones del plano mediante la desigualdad triangular y la desigualdad triangular inversa. También se demuestra la regla del paralelogramo.

  7. A partir de la definición del argumento de un número complejo se introducen otras representaciones de los números complejos que facilitan su operatividad (formas polar y trigonométrica). Es en este momento cuando se da una interpretación geométrica del producto como giro y como homotecia.

  8. En el proceso de calcular las potencias de un número complejo se comienza analizando las potencias de exponente natural (fórmula de Moivre) y las potencias de exponente fraccionario (raíces n-ésimas).

  9. Se introduce la función exponencial y el logaritmo complejo como paso previo a la definición de potencia de base y exponente complejos.

  10. Se definen las funciones trigonométricas complejas como ampliación de las funciones trigonométricas reales que se expresan previamente en forma exponencial a través de la fórmula de Euler. Se pone de manifiesto que ni el seno ni el coseno complejos son funciones acotadas en C aunque se mantienen las propiedades de las funciones seno y coseno con respecto de la suma y de la diferencia.

  11. Antes de introducir las funciones hiperbólicas complejas se definen las mismas funciones reales mostrando que las funciones trigonométricas son a la circunferencia unidad lo que las funciones hiperbólicas a la hipérbola unidad.

Relación entre niveles. Relación con otros módulos

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Escenas interactivas

Se han desarrollado numerosas aplicaciones interactivas que permiten:

  • Realizar las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división.

  • Interpretar geométricamente el sentido de dichas operaciones.

  • Definir y representar el módulo y el argumento de un número complejo así como su opuesto y su conjugado.

  • Calcular y representar las raíces enésimas de un número complejo.

  • Calcular el valor de funciones complejas (exponencial, logaritmo, funciones trigonométricas e hiperbólicas) aplicadas a números complejos.

  • Representar las transformaciones de ciertas regiones del plano mediante las funciones complejas anteriormente citadas.

Pre/post evaluación

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