El lector ya conoce, al menos de forma cualitativa, el concepto de continuidad. Así, una función es continua cuando su gráfica puede trazarse sin levantar el lápiz del papel, tal y como se muestra en la escena de la derecha.

El trazo continuo no siempre es posible, y hay funciones que presentan puntos de discontinuidad, pudiendo estos ser de distintos tipos.

¿Cómo se comporta una función en las cercanías de un punto?

Se muestra a la derecha la gráfica -incompleta, pues una pequeña parte permanece oculta- de la función

$f\left(x\right)=x^3-2x^2+2x-1$

¿Cuánto vale  y  en  x = 2? ¿Y en las cercanías de  x = 2?

Se podría estimar que para  x = 2, "y" es aproximadamente igual a 3.

Es más, no habría más que sustituir  x  por 2:

$y=f\left(2\right)=2^3-2\cdot 2^2+2\cdot 2-1=3$

¿Qué ocurre inmediatamente a la izquierda de  x = 2?

Parece razonable suponer, a la vista de la gráfica, que a valores de  x  próximos a  x = 2  correspondan valores de  y  próximos a  y = 3.

Para averiguar lo que pasa se puede emplear una tabla XY tomando para  x  valores próximos a 2 por su izquierda (x < 2):

Es posible encontrar, de esta forma, valores de "y" tan cercanos a  y = 3  como se desee, sin más que tomar, para ello, valores de "x" suficientemente próximos a  x = 2.

Cuando esto ocurre se dice que el "límite de la función cuando  x  tiende a 2 por la izquierda es 3", y se escribe: $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=3$

Y, en general, el límite de una función  f  cuando   $x\to a^{-}$ :

Lo que será cierto siempre y cuando se puedan encontrar valores de "y" [ f (x)] tan próximos a  y = l  como se desee , sin más que tomar valores de "x" suficientemente próximos a  x = a  por su izquierda (x < a).

Algunas consideraciones de interés:

• El límite por la izquierda de una función en un punto, si existe, es un número.
• No es necesario que exista  f (a). Compruebe con una tabla XY que $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^2+x-6}{x-2}=5$, a pesar de que la función no existe en  x = 2  pues este valor anula el denominador.
• Es posible, incluso, que exista  f(a)  pero que sea distinto del límite. Compruebe con una tabla XY cómo la función "a trozos"   $f(x)=\{\begin{array}{lll}{x}^2-1\hfill & \text{si}\hfill & x<2\hfill \\ 7-x\hfill & \text{si}\hfill & x\ge 2\hfill \end{array}$   tiene por límite 3 cuando  x  tiende a 2 por la izquierda, mientras que  f (2) = 5.

Límite por la derecha de una función en un punto

De forma análoga se puede describir el límite por la derecha de una función en un punto, y se puede escribir entonces:

Límite de una función en un punto

Y, por último, si ambos límites laterales -izquierda y derecha- existen y son iguales, se dice que ese valor es el límite de la función en el punto, y se puede escribir:

Ejemplos

$$\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=l=f\left(a\right)$$	$$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=l$$	$$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right),\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=l$$
Existe el límite en  x = a, existe la función en ese punto, y ambos son iguales.	Los límites laterales existen y son iguales, por lo que existe el límite de la función en  x = a. No existe  f (a).	Existen los límites laterales y son distintos, por lo que no existe el límite de la función en el punto. Sí existe  f (a).