r: A x + B y + C = 0 ; P (x₀, y₀)

Tomando un punto Q (x₁, y₁) cualquiera de r , y construyendo el vector $\overrightarrow{QP}=(x_0-x_1,y_0-y_1)$ la distancia d es la proyección del vector $\overrightarrow{QP}$ sobre el vector normal $\overrightarrow{n}$ de la recta, que se puede calcular mediante el producto escalar:

$\begin{array}{l}d\left(P,r\right)=d=\frac{\left|\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{QP}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|\left(A,B\right)\cdot \left(x_0-x_1,y_0-y_1\right)\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\\ =\frac{\left|A\left(x_0-x_1\right)+B\left(y_0-y_1\right)\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0-\left(A{x}_1+B{y}_1\right)\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}\end{array}$

Puesto que Q (x₁, y₁) es un punto de r satisface su ecuación: A x₁ + B y₁ + C = 0 , y así: A x₁ + B y₁ = - C , que sustituyendo en la expresión de la distancia queda: $\begin{array}{||}\hline d\left(P,r\right)=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}\\ \hline\end{array}$