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Producto escalar

En los apartados anteriores ha visto dos operaciones entre vectores (producto por un número y suma de vectores); en ambos casos el resultado de la operación era un nuevo vector. A continuación se introducirá una nueva operación entre vectores cuyo resultado no es un vector sino un número, un "escalar".

PRODUCTO ESCALAR $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot \left|\overrightarrow{v}\right|\cos (\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})$

El resultado de multiplicar escalarmente dos vectores es un número que se obtiene multiplicando los módulos por el coseno del ángulo que forman ambos vectores.

(Cuando en un mismo contexto o situación se emplean a la vez vectores y números es común referirse a estos últimos como "escalares" para distinguirlos de los vectores).

En el ejemplo de la figura se han representado dos vectores referidos a una base ortonormal y se calcula su producto escalar:

$\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{u}\right|=\mathrm{1,5}\\ \left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=2\text{(teorema de Pitágoras)}\\ \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot \left|\overrightarrow{v}\right|\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\mathrm{1,5}\cdot 2\cdot \cos 60º=3\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\end{array}$

Como puede apreciar, el producto escalar es un número que es máximo cuando ambos vectores coinciden en dirección y sentido ( $\alpha =0º;\text{}\text{}\cos 0º=1$ ), vale cero cuando son perpendiculares ( $\alpha =90º;\text{}\text{}\cos 90º=0$ ), y es mínimo cuando tienen direcciones opuestas ( $\alpha =180º;\text{}\text{}\cos 180º=-1$ ). Se exponen, en la siguiente página, las propiedades de esta operación.