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Ecuaciones de la recta

Una recta r queda determinada conociendo un punto, A , y un vector , $\vec{u}$ , paralelo a la recta (vector direccción).

¿Qué condición debe cumplir un punto genérico, X , para que pertenezca a la recta?

La condición es que los vectores $\vec{A X}$ y $\vec{u}$ sean paralelos, proporcionales, combinación lineal el uno del otro. Existirá, así, un número, t , tal que:

$\vec{A X} = t \vec{u}$

Según la "regla del triángulo" (ver figura): $\vec{x} = \vec{a} + \vec{A X}$

Y, en definitiva:

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

$\vec{x} = \vec{a} + t \vec{u}$

Sustituyendo los vectores por sus coordenadas:

$(x, y) = (a_{1}, a_{2}) + t (u_{1}, u_{2})$

Y despejando:

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

${\begin{matrix} x = a_{1} + t u_{1} \\ y = a_{2} + t u_{2} \end{matrix}$