notas02e

Ecuación general o implícita de la recta

Si en las ecuaciones paramétricas

${\begin{matrix} x = a_{1} + t u_{1} \\ y = a_{2} + t u_{2} \end{matrix}$

se despeja t en ambas ecuaciones y se iguala

$\frac{x - a_{1}}{u_{1}} = \frac{y - a_{2}}{u_{2}}$

quitando, por último, denominadores y pasando todo al primer miembro

$\underset{A}{\underset{︸}{u_{2}}} x - \underset{- B}{\underset{︸}{u_{1}}} y + \underset{C}{\underset{︸}{a_{2} u_{1} - a_{1} u_{2}}} = 0$

queda, en definitiva:

ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA DE LA RECTA

A x + B y + C = 0

Al vector $\vec{n} = (A, B)$ se le denomina vector normal de la recta, y resulta ser perpendicular a la misma.

De forma recíproca el conocimiento de un vector normal de una recta resulta de gran utilidad para la obtención de su ecuación general, pues proporciona de forma directa los coeficientes A y B de dicha ecuación.