notas02e

Ángulo de dos rectas

Dos rectas que se cortan en un punto determinan dos ángulos que son suplementarios. Se llama ÁNGULO de las dos rectas al menor de ellos.

Si las rectas están en forma paramétrica

$r : {\begin{array}{l} x = a_{1} + t u_{1} \\ y = a_{2} + t u_{2} \end{array} s : {\begin{array}{l} x = b_{1} + t v_{1} \\ y = b_{2} + t v_{2} \end{array}$

el ángulo se puede obtener a través del producto escalar de sus vectores de dirección:

$r : {\begin{array}{l} x = a_{1} + t u_{1} \\ y = a_{2} + t u_{2} \end{array} s : {\begin{array}{l} x = b_{1} + t v_{1} \\ y = b_{2} + t v_{2} \end{array}$

$\cos β = \frac{| \vec{u} \cdot \vec{v} |}{| \vec{u} | \cdot | \vec{v} |} = \frac{| u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} |}{\sqrt{{(u_{1})}^{2} + {(u_{2})}^{2}} \sqrt{{(v_{1})}^{2} + {(v_{2})}^{2}}}$

(Pinche en el icono de la ventana para aclarar el origen de la expresión)

El ángulo que forman los vectores de dirección es el mismo que el determinado por los vectores normales, por lo que si las rectas están en forma general (implícita):

r₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0

r₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0

$\cos β = \frac{| {\vec{n}}_{1} \cdot {\vec{n}}_{2} |}{| {\vec{n}}_{1} | \cdot | {\vec{n}}_{2} |} = \frac{| A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} |}{\sqrt{{(A_{1})}^{2} + {(B_{1})}^{2}} \sqrt{{(A_{2})}^{2} + {(B_{2})}^{2}}}$

¿Y si las rectas están en forma explícita?

r₁: y = m₁ x + n₁

r₂: y = m₂ x + n₂

Sin obtener vectores de ningún tipo (aunque también es posible de esa forma) se puede emplear la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos:

r₁: y = m₁x + n₁

r₂: y = m₂x + n₂

$tg β = | \frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{2} m_{1}} |$

ángulo de dos rectas

ángulo de dos rectas (con vectores de dirección)

ángulo de dos rectas (con vectores normales)

ángulo de dos rectas (con las pendientes)